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确定系统和雅可比矩阵：
- 确定系统方程，如： [ \frac{dx}{dt} = f(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = g(x, y) ]
- 计算雅可比矩阵： [ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix} ] 代入稳定节点的坐标点,得到局部线性化方程。
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计算特征值：
- 解特征方程 (\det(J - \lambda I) = 0)，得到特征值 (\lambda_1) 和 (\lambda_2)。
- 确定特征值是否为负实数,以判断稳定性。
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判断稳定性：
- 如果所有特征值都是负实数,该点为稳定节点。
- 如果有正实数特征值,该点为发散节点。
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测速分析：
- 计算速度向量的模长：(||\mathbf{v}|| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2})。
- 观察模长在稳定节点附近的趋近情况,确定稳定性。
示例分析：
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稳定节点分析：
- 系统：(\frac{dx}{dt} = -x + x^3), (\frac{dy}{dt} = -y + y^3)
- 在原点附近，雅可比矩阵为： [ J = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} ]
- 特征值为 (-1)（二重根），均为负实数,原点为稳定节点。
- 速度模长：(||\mathbf{v}|| \approx \sqrt{x^2 + y^2})，趋近于零,说明原点渐近稳定。
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不稳定节点分析：
- 系统：(\frac{dx}{dt} = x - x^3), (\frac{dy}{dt} = y - y^3)
- 在原点附近，雅可比矩阵为： [ J = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} ]
- 特征值为 (1)（二重根），均为正实数,原点为发散节点。
- 速度模长：(||\mathbf{v}|| \approx \sqrt{x^2 + y^2})，趋近于无穷大,说明原点不稳定。
通过测速分析，可以确定系统在稳定节点附近的收敛速度,这对于分析和设计控制系统具有重要意义。
